傅里叶级数证明(傅里叶级数证明不等式)

常用傅里叶级数展开式怎么证明

证明：根据傅里叶级数的定义，若将f(x)展开成余弦级数，则f(x)=(a0)/2+∑ancosnx，其中，an=(2/π)∫(0,π)f(x)cosnxdx，n=0,1,2，…，∞。本题中，f(x)=sinx，则an=(2/π)∫(0,π)sinxcosnxdx。 ∴a0=(2/π)∫(0,π)sinxdx=(-2/π)cosx丨(x=0,π)=4/π，a1=∫(0,π)sinxcosxdx=0，而n≠0,1时，∫(0,π)sinxcosnxdx=(1/2)∫(0,π)[sin(n+1)x-sin(n-1)x]dx=(1/2){1/(n+1)-[(-1)^(n+1)]-1/(n-1)+[(-1)^(n+1)]/(n+1)}。显然，n=2k+1时，an=0、n=2k时，an=(-4/π)/[(2k+1)(2k-1)](k=1,2,……∞）， ∴sinx=2/π+∑a2kcos2kx=2/π-(4/π)∑(cos2kx)/[(2k+1)(2k-1)]，即∑(cos2nx)/[(2n+1)(2n-1)]=1/2-(π/4)sinx(n=1,2,……，∞）。供参考。

什么是傅里叶级数？

傅里叶级数

Fourier series

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

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傅里叶级数的公式

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

mathx(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi})t}/math（j为虚数单位）（1）

其中，matha_k/math可以按下式计算：

matha_k=\frac\int_x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi})t}/math（2）

注意到mathf_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi})t}/math是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，mathk=\pm 1/math时具有基波频率math\omega_0=\frac{2\pi}/math，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；

在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

三角函数族的正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

math\int _^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;/math

math\int _^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math

math\int _^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math

math\int _^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;/math

math\int _^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;/math

奇函数和偶函数

奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数，而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数：

mathf_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);/math

mathf_e(x) = \frac+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx);/math 只要注意到欧拉公式: mathe^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta/math，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数

任何正交函数系math\{ \phi(x)\}/math，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：

math\int _^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^_/math (4)，

那么级数math\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x)，其中:

mathc_n=\int _^f(x)\phi_n(x)\,dx/math (6)。

事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

math\int _^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^_/math成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基math\{e_i\}^_{i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math 。

傅里叶级数是什么? 无

一．傅里叶级数的三角函数形式

设f(t)为一非正弦周期函数,其周期为T,频率和角频率分别为f ,ω1.由于工程实际中的非正弦周期函数,一般都满足狄里赫利条件,所以可将它展开成傅里叶级数.即

其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅,不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量.A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波,A1,ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍,称为二次谐波,A2,ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波,四次谐波等.基波,三次谐波,五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波,四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外,其余各项统称为高次谐波.式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加.

上式有可改写为如下形式,即

当A0,An,ψn求得后,代入式 (10-2-1),即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式.

把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析.工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种,它们的傅里叶级数展开式前人都已作出,可从各种数学书籍中直接查用.

从式（10-2-3）中看出,将n换成(-n)后即可证明有

a-n=an

b-n=-bn

A-n=An

ψ-n=-ψn

即an和An是离散变量n的偶函数,bn和ψn是n的奇函数.

二．傅里叶级数的复指数形式

将式（10-2-2）改写为

可见与互为共轭复数.代入式（10-2-4）有

上式即为傅里叶级数的复指数形式.

下面对和上式的物理意义予以说明：

由式（10-2-5）得的模和辐角分别为

可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn,物理意义十分明确,故称为第n次谐波的复数振幅.

的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有

上式即为从已知的f(t)求的公式.这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7）,通常用下列符号表示,即

即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得,再将所求得的代入式（10-2-7）,即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数.

在（10-2-7）中,由于离散变量n是从（-∞）取值,从而出现了负频率（-nω1）.但实际工程中负频率是无意义的,负频率的出现只具有数学意义,负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的,它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量.即

引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便.

高等数学中的傅立叶级数

傅立叶系数

傅立叶系数包括系数 ,积分号和它的积分域,以及里面的两个周期函数的乘积——其中一个是关于f的,另一个是关于x的函数f(x),另一个则是和级数项n有关的三角函数值.这个三角函数可以是正弦,也可以是余弦,因此傅立叶系数包括正弦系数和余弦系数.其中当n=0时,余弦值为1,此时存在一个特殊的系数 ,它只与x有关.正弦系数再成一个正弦,余弦再乘一个余弦,相加并且随n求和,再加上一半的 ,就称为了这个特别的函数f(x)的傅立叶级数.为什么它特别呢,我想因为这里只有它只限于一个周期函数而已,而级数的周期就是f(x)的周期,2 .

如果函数f(x)存在一个周期,但是不是2 了,而是关于y轴对称的任意一个范围,它还能写成傅立叶级数么?也可以的.只要把傅立叶系数里的换成l,并且把积分号里的三角函数中的n 下除一个l,同时把系数以外的那个n 底下也除一个l.其他的都不动.也可以认为,2 周期的傅立叶级数其实三角函数中x前面的系数应该是 ,其他的（积分域和系数）应该是x,只不过这时所有的l都是罢了.

前面提及了,周期或是积分域,是关于y轴的一个任意范围.其实周期函数不用强调这个,但是为什么还要说呢?因为要特别强调一下定义域是满的.有些函数的定义域不是满的,是0到l,当然这样它有可能不是周期的.这些函数能写成傅立叶级数么?同样可以.而且,它的写法不再是正弦和余弦函数的累积,而是单独的一个正弦函数或是余弦函数.具体怎么写,就取决于怎么做.因为域是一半的,所以自然而然想到把那一半补齐,f就成了周期函数.补齐既可以补成奇函数也可以补成偶函数.补成积函数,写成的级数只有正弦项,即为0.补成偶函数,写成的级数就只含有余弦项和第一项,即为0.而,傅立叶系数相比非积非偶的函数要大一倍.

其实,如果不经延拓,上面那些对于奇偶函数同样使用.

在做题时,常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数,然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子,这时候就容易突然短路了.但是如果再定睛一看,会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已.那么一大串,应该看什么呢?应当先看积分域,一下就可以定出周期了.第二步要明确级数和函数的关系即等价关系.函数不但包含在级数中,而且函数本身也是和级数等价的.但一般那个级数里的函数是一个摆设,不起什么作用