扩散定律(菲克扩散定律)

扩散方程

扩散方程如下：

菲克第一扩散定律

第一定律可以用现代数学形式表示为：

对于物质 i，Ni 是摩尔通量（mol m-2 s-1），Di 是扩散系数（m2 s-1），ci 是浓度（mol m-3）。

根据质量连续性方程：

我们可以直接推导出菲克第二定律：

其中假设 Di 是一个常数，该假设仅适用于稀溶液。通常，对于以下应用，这是一个很好的假设：固体中的扩散；稀溶液、水或其他典型液体溶剂中的化学物质扩散；以及气相中的稀（微量）物质（比如空气中的二氧化碳）扩散。

菲克第二扩散定律

菲克第二扩散定律是一个线性方程，其中将化学物质的浓度作为自变量，每种化学物质的扩散都是单独发生的。由于存在这些性质，菲克第二定律描述的质量传递系统很容易进行数值模拟。

在进行扩散建模时，通常较好的做法是，先假设所有扩散系数都相等，并且与温度、压力等不相关。

通过这种简化，可以确保建模域中的质量传递方程呈线性，并且很容易与已知的解析限制关联起来。当人们能够准确理解所有扩散系数都相等的系统的行为时，就可以放宽这个假设。

菲克第二定律的量纲分析表明，在扩散过程中，扩散时间与扩散距离的平方之间存在基本关系。只有正确理解了这一关系，才能对扩散进行精确的数值仿真。

气体扩散定律是什么?

定律：

气体扩散定律是指在相同的温度和压力下，气体的扩散速度与其密度或分子量的平方根成反比。这是格拉罕姆定律。当把气体混合物放在一个器壁是多孔且又能穿过气体的容器时，其中较轻的气体将比较重的气体更快地通过多孔。

简介：

扩散可以分类为很多不同种类的扩散，其需要和状态大体不相同。有些扩散需要介质，而有些则需要能量。因此不能将不同种类的扩散一概而论。有生物学扩散、化学扩散、物理学扩散，等等。

由于分子的热运动而产生的物质迁移现象．一般可发生在一种或几种物质于同一物态或不同物态之间，由不同区域之间的浓度差或温度差所引起，前者居多。

关于气体扩散定律的内容

同温同压下各种不同气体扩散速度与气体密度的平方根成反比，这就是 气体扩散定律 用数学公式表示为:u1/u2=√(ρ2/ρ1)=√(M2/M1). 式中: U1,ρ1,M1分别表示第一种气体的扩散速度,密度和相对分子量;U2,ρ2,M2分别表示第二种气体的扩散速度,密度和相对分子量.

单相固溶体扩散特点

扩散定律及其应用

物质中的原子随时进行着热振动，温度越高，振动频率越快。当某些原子具有足够高的

能量时，便会离开原来的位置，跳向邻近的位置，这种由于物质中原子（或者其他微观粒子）

的微观热运动所引起的宏观迁移现象称为扩散。

在气态和液态物质中，原子迁移可以通过对流和扩散两种方式进行，与扩散

相比，对流要快得多。然而，在固态物质中，扩散是原子迁移的唯一方式。固态

物质中的扩散与温度有很强的依赖关系，温度越高，原子扩散越快。实验证实，

物质在高温下的许多物理及化学过程均与扩散有关，因此研究物质中的扩散无论

在理论上还是在应用上都具有重要意义。

物质中的原子在不同的情况下可以按不同的方式扩散，扩散速度可能存在明

显的差异，可以分为以下几种类型。

① 化学扩散和自扩散：扩散系统中存在浓度梯度的扩散称为化学扩散，没

有浓度梯度的扩散称为自扩散，后者是指纯金属的自扩散。

② 上坡扩散和下坡扩散：扩散系统中原子由浓度高处向浓度低处的扩散称

为下坡扩散，由浓度低处向浓度高处的扩散称为上坡扩散。

③ 短路扩散：原子在晶格内部的扩散称为体扩散或称晶格扩散，沿晶体中

缺陷进行的扩散称为短路扩散，后者主要包括表面扩散、晶界扩散、位错扩散等。

短路扩散比体扩散快得多。

④ 相变扩散：原子在扩散过程中由于固溶体过饱和而生成新相的扩散称为

相变扩散或称反应扩散。

本章主要讨论扩散的宏观规律、微观机制和影响扩散的因素。

1.1 扩散第一定律

在纯金属中，原子的跳动是随机的，形成不了宏观的扩散流；在合金中，虽

然单个原子的跳动也是随机的，但是在有浓度梯度的情况下，就会产生宏观的扩

散流。例如，具有严重晶内偏析的固溶体合金在高温扩散退火过程中，原子不断

从高浓度向低浓度方向扩散，最终合金的浓度逐渐趋于均匀。

菲克（A. Fick）于1855年参考导热方程，通过实验确立了扩散物质量与其

浓度梯度之间的宏观规律，即单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的物

质量（扩散通量）与该物质在该面积处的浓度梯度成正比，数学表达式为

（3.1）

上式称为菲克第一定律或称扩散第一定律。式中，J为扩散通量，表示扩散

2物质通过单位截面的流量，单位为物质量/m.s；x为扩散距离；C为扩散组元的

体积浓度，单位为物质量/m3；为沿x方向的浓度梯度；D为原子的扩散系

2数，单位为m/s。负号表示扩散由高浓度向低浓度方向进行。

对于扩散第一定律应该注意以下问题：

① 扩散第一方程与经典力学的牛顿第二方程、量子力学的薛定鄂方程一样，

是被大量实验所证实的公理，是扩散理论的基础。

② 浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描述原子扩散能

力的基本物理量。扩散系数并非常数，而与很多因素有关，但是与浓度梯度无关。

③ 当时，J = 0，表明在浓度均匀的系统中，尽管原子的微观运

动仍在进行，但是不会产生宏观的扩散现象，这一结论仅适合于下坡扩散的情况。

有关扩散驱动力的问题请参考后面内容。

④

在扩散第一定律中没有给出扩散与时间的关系，故此定律适合于描述

的稳态扩散，即在扩散过程中系统各处的浓度不随时间变化。

⑤ 扩散第一定律不仅适合于固体，也适合于液体和气体中原子的扩散。

1.2 扩散第二定律

稳态扩散的情况很少见，有些扩散虽然不是稳态扩散，只要原子浓度随时间

的变化很缓慢，就可以按稳态扩散处理。但是，实际中的绝大部分扩散属于非稳

态扩散，这时系统中的浓度不仅与扩散距离有关，也与扩散时间有关，即

。对于这种非稳态扩散可以通过扩散第一定律和物质平衡原理两

个方面加以解决。

考虑如图3.1所示的扩散系统，扩散物质沿x方向通过横截面积为A(=Δy

Δz)、长度为Δx的微元体，假设流入微元体（x处）和流出微元体（x+Δx处）的扩散通量分别为和，则在Δt时间内微元体中累积的扩散物质量为

图3.1 原子通过微元体的情况

当Δx→0，Δt→0时，则

（3.2）

将扩散第一方程（3.1）代入上式，得

（3.3）

扩散系数一般是浓度的函数，当它随浓度变化不大或者浓度很低时，可以视为常数，故式（3.3）可简化为

（3.4）

式（3.2）、（3.3）和（3.4）是描述一维扩散的菲克第二定律或称扩散第二定律。

对于三维扩散，根据具体问题可以采用不同的坐标系，在直角坐标系下的扩散第二定律可由式（3.3）拓展得到

（3.5）

当扩散系统为各向同性时，如立方晶系，

有

与浓度无关，则上式转变为

，若扩散系数

（3.6）

或者简记为

（3.7）

与扩散第一定律不同，扩散第二定律中的浓度可以采用任何浓度单位。

1.3 扩散第二定律的解及其应用

对于非稳态扩散，可以先求出扩散第二定律的通解，再根据问题的初始条件和边界条件，求出问题的特解。为了方便应用，下面介绍几种常见的特解，并且在下面讨论中均假定扩散系数为常数。

一、误差函数解

误差函数解适合于无限长或者半无限长物体的扩散。无限长的意义是相对于原子扩散区长度而言，只要扩散物体的长度比扩散区长得多，就可以认为物体是无限长的。

（1）无限长扩散偶的扩散

将两根溶质原子浓度分别是C1和C2、横截面积和浓度均匀的金属棒沿着长度方向焊接在一起，形成无限长扩散偶，然后将扩散偶加热到一定温度保温，考察浓度沿长度方向随时间的变化，如图3.2。将焊接面作为坐标原点，扩散沿x轴方向，列出扩散问题的初始条件和边界条件分别为

t＝0时：

t≥0时：

图3.2 无限长扩散偶中的溶质原子分布 为得到满足上述条件的扩散第二方程的解

，采用变量代换法，令

，并将其代入方程（3.4），这样做的目的是将浓度由二元函数转化

为β的单变量函数，从而将方程（3.4）转化为常微分方程，然后解之，即

将以上二式代入方程（3.4），得

（3.8）

方程的通解为

（3.9）

其中，A1和A2是积分常数。上述积分不能得到准确解，只能用数值解法。现在定义一个β的误差函数

（3.10） 误差函数具有如下性质：点对称的函数，不同β的误差函数

数的性质，当β→±∞时，有

，，因此它是一个原值参考表3.1。由式（3.10）和误差函

利用上式和初始条件，当t＝0时，x＜0，β＝－∞；x＞0，β＝＋∞。将它们代入式（3.9），得

解出积分常数

然后代入式（3.9），则

（3.11）

式（3.11）就是无限长扩散偶中的溶质浓度随扩散距离和时间的变化关系，见图3.2。下面针对误差函数解讨论几个问题。

①

曲线的特点：根据式（3.11）可以确定扩散开始以后焊接面处的浓度Cs，即当t＞0，x＝0时

表明界面浓度为扩散偶原始浓度的平均值，该值在扩散过程中一直保持不变。若扩散偶右边金属棒的原始浓度C1＝0，则式（3.11）简化为

（3.12）

而焊接面浓度Cs＝C2/2。

在任意时刻，浓度曲线都相对于x＝0，Cs＝（C1﹢C2）/2为中心对称。随着时间的延长，浓度曲线逐渐变得平缓，当t→∞时，扩散偶各点浓度均达到均匀浓度（C1﹢C2）/2。

② 扩散的抛物线规律：由式（3.11）和（3.12）看出，如果要求距焊接面为x处的浓度达到C，则所需要的扩散时间可由下式计算

（3.13）

式中，K是与晶体结构有关的常数。此关系式表明，原子的扩散距离与时间呈抛物线关系，许多扩散型相变的生长过程也满足这种关系。

③ 在应用误差函数去解决扩散问题时，对于初始浓度曲线上只有一个浓度突变台阶（相当于有一个焊接面，就像图3.2那样），这时可以将浓度分布函数写成

（3.14）

然后由具体的初始和边界条件确定出比例常数A和B，从而获得问题的解。同样，如果初始浓度曲线上有两个浓度突变台阶（相当于有两个焊接面），则可以在浓度分布函数（3.14）中再增加一个误差函数项，这样就需要确定三个比例常数。

表3.1 误差函数erf（β），β由0到2.7

（2）半无限长物体的扩散

化学热处理是工业生产中最常见的热处理工艺，它是将零件置于化学活性介质中，在一定温度下，通过活性原子由零件表面向内部扩散，从而改变零件表层的组织、结构及性能。钢的渗碳就是经常采用的化学热处理工艺之一，它可以显著提高钢的表面强度、硬度和耐磨性，在生产中得到广泛应用。由于渗碳时，活性碳原子附在零件表面上，然后向零件内部扩散，这就相当于无限长扩散偶中的一根金属棒，因此叫做半无限长。

将碳浓度为C0的低碳钢放入含有渗碳介质的渗碳炉中在一定温度下渗碳，渗碳温度通常选择在900～930℃范围内的一定温度。渗碳开始后，零件的表面碳浓度将很快达到这个温度下奥氏体的饱和浓度C（它可由Fe-Fe3C相图上的Acms

线和渗碳温度水平线的交点确定，如927℃时，为1.3%C），随后表面碳浓度保持不变。随着时间的延长，碳原子不断由表面向内部扩散，渗碳层中的碳浓度曲线不断向内部延伸，深度不断增加。碳浓度分布曲线与扩散距离及时间的关系可以根据式（3.14）求出。将坐标原点x＝0放在表面上，x轴的正方向由表面垂直向内，即碳原子的扩散方向。列出此问题的初始和边界条件分别为

t＝0时：

t＞0时：

将上述条件代入式（3.14），确定比例常数A和B，就可求出渗碳层中碳浓度分布函数

（3.15）

该函数的分布特点与图3.2中焊接面右半边的曲线非常类似。若为纯铁渗碳，C0＝0，则上式简化为

（3.16）

由以上两式可以看出，渗碳层深度与时间的关系同样满足式（3.13）。渗碳时，经常根据式（3.15）和（3.16），或者式（3.13）估算达到一定渗碳层深度所需要的时间。

除了化学热处理之外，金属的真空除气、钢铁材料在高温下的表面脱碳也是半无限长扩散的例子，只不过对于后者来说，表面浓度始终为零。

二、高斯函数解

在金属的表面上沉积一层扩散元素薄膜，然后将两个相同的金属沿沉积面对焊在一起，形成两个金属中间夹着一层无限薄的扩散元素薄膜源的扩散偶。若扩散偶沿垂直于薄膜源的方向上为无限长，则其两端浓度不受扩散影响。将扩散偶加热到一定温度，扩散元素开始沿垂直于薄膜源方向同时向两侧扩散，考察扩散元素的浓度随时间的变化。因为扩散前扩散元素集中在一层薄膜上，故高斯函数解也称为薄膜解。

将坐标原点x＝0选在薄膜处，原子扩散方向x垂直于薄膜，确定薄膜解的初始和边界条件分别为

t＝0时：

t≥0时：

可以验证满足扩散第二方程（3.4）和上述初始、边界条件的解为

（3.17）

式中a为待定常数。设扩散偶的横截面积为1，由于扩散过程中扩散元素的总量M不变，则

（3.18）

与误差函数解一样，采用变量代换，将其和式（3.17）同时代入上式，得

，微分有，

将待定常数代入式（3.17），最后得高斯函数解

（3.19）

在上式中，令，它们分别表示浓度分布曲线的振幅和宽度。当t＝0时，A＝∞，B＝0；当t＝∞时，A＝0，B＝∞。因此，随着时间延长，浓度曲线的振幅减小，宽度增加，这就是高斯函数解的性质，图3.3给出了不同扩散时间的浓度分布曲线。

图3.3 薄膜扩散源的浓度随距离及时间的变化，数字表示不同的Dt值

2 扩散微观理论与机制

扩散第一及第二定律及其在各种条件下的解反映了原子扩散的宏观规律，这些规律为解决许多与扩散有关的实际问题奠定了基础。在扩散定律中，扩散系数是衡量原子扩散能力的非常重要的参数，到目前为止它还是一个未知数。为了求出扩散系数，首先要建立扩散系数与扩散的其他宏观量和微观量之间的联系，这是扩散理论的重要内容。事实上，宏观扩散现象是微观中大量原子的无规则跳动的统计结果。从原子的微观跳动出发，研究扩散的原子理论、扩散的微观机制以及微观理论与宏观现象之间的联系是本节的主要内容。

创新扩散定律

在埃弗雷特·罗杰斯1962年出版的著作《创新的扩散》中，描述了创新是如何在社会中传播的。创新扩散曲线几乎完美地描述了每个群体的心理特征是如何反映消费者习惯的，以及他们是如何对待创新产品和服务的。他将人群分为五类：创新者、早期接受者、早期的大多数、迟到的大多数，以及落后者。这五类人群在创新扩散曲线上成正态分布状态。

早期接受者与创新者很像，他们喜欢新想法或新科技带来的好处，他们能率先认识到新想法的价值，能看到潜力。他们都非常依赖直觉，也相信直觉。对于早期的接受者来说，他们宁可忍受不便或者忍受产品的一些不完美，或是花费更多的钱，去获得某些产品。但是在某种程度上来说，这跟产品有多好没太大关系，而是跟他们的自我认知更为相关。

旁边34%的早期大众是不肯尝试新事物的，除非有人已经尝试过了。早期的大众与晚期大众都是更为理性的人。想要刺激这类用户购买，你必须降低这些实用主义者的担心，直到他们放心购买。早期大众在接受新方法或新技术上，会比晚期大众更容易些。

越往曲线右侧走，就越容易遇到这类人，他们也许需要你的产品，却未必相信你的信念。无论你工作的多么努力，这种客户还是觉得你不够努力。对他们来说，一切都可以拆成价格。

这些人群不是一成不变的，对待不同的产品，人们所处的曲线位置可能不同。当我们对某类产品特别忠诚时，我们会处在曲线左侧。而对有些产品，我们又会处在右侧。当我们待在自己区域的时候，往往也很难理解别人的行为。

根据扩散定律，唯有你拿些15%-18%的市场份额，你才能在大众市场上取得成功。如果把营销重点都放在曲线中段上，却不率先去吸引那些早期接受者的话，赢得大众市场几乎不可能。位于曲线左侧的人是认同你的理念，理解你产品价值，心甘情愿花钱的人。他们会主动与别人谈论你的产品，这部分人不只是“愿意购买你的产品”，他们还跟你有相同的理念，想把你的产品和服务融入他们的生活，所以他们也不是为了你而去购买产品，而是为了他们自己。

所以如果把重点放在早期采用者身上，那么大多数消费者最终会追随上来，前提是你必须从黄金圈法则的“为什么”开始，去介绍你的价值观和理念。认同你价值观和理念的早期接受者，会积极的为你去做宣传，无需奖励和提醒，这类用户的忠诚度极高。而获取到这些忠诚用户也正是引爆整个系统的关键。

所以在市场营销中，我们要先从“为什么”开始，去传达你产品的价值观和理念，去吸引那些与你有相同价值观和理念的早期接受者，你必须清楚的表达“你为什么存在”，然后再让人们看到你的产品和服务是如何体现你的理念的，这正是黄金圈法则由内而外表达的非凡模式，这也与人脑接受信息由内而外做出“直觉”判断是契合的。

气体扩散速率与什么成反比

气体扩散定律law of Eras diffusi二在相同的温度和压力下，气体的扩散速率与其物质的摩尔质量的平方根成反比。

1、气体的分压差 在混合气体中，每种气体分子运动所产生的压力为各该气体的分压，它不受其它气体或其分压存在的影响，在温度恒定时，每一气体的分压只决定于它自身的浓度。混合气的总压力等于各气体分压之和。

气体分压=总压力×该气体的容积百分比

两个区域之间的分压差（△P）是气体扩散的动力，分压差大，扩散快。

2、气体的分子量和溶解度质量轻的气体扩散较快。在相同条件下，各气体扩散速率和各气体分子量（MW）的平方根成反比。溶解度（S）是单位分压下溶解于单位容积的溶液中的气体的量。一般以1个大气压，38℃时，100ml液体中溶解的气体的ml数来表示。

溶解度与分子量平方根之比（S/***）为扩散系数（diffusion coefficient），取决于气体分子本身的特性。CO2的扩散系数是O2的20倍，主要是因为CO2在血浆中的溶解度（51.5）约为O2的（2.14）24倍的缘故，虽然CO2的分子量（44）略大于O2的（32）。

3、扩散面积和距离 扩散面积越大，所扩散的分子总数也越大，所以气体扩散速率与扩散面积（A）成正比。分子扩散的距离越大，扩散经全程所需的时间越长，因此，扩散速率与扩散距离（d）成反比。

4、温度 扩散速率与温度（T）成正比。在人体，体温相对恒定，温度因素可忽略不计。

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