圆切割线定理(圆切割线定理及图解)

牛大拿 • 2023-03-09 12:51 • 生活指南 • 阅读 95

圆切线定理是什么?怎么证明?

切线的判定和性质

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l ⊥OA,点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA（切线性质定理）

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC,∠APO=∠CPO（切线长定理）

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 , =

∴∠BCN=∠ACM

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

4．弦切角概念：顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：

（1）顶点在圆上,即角的顶点是圆的一条切线的切点；

（2）角的一边和圆相交,即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；

（3）角的另一边和圆相切,即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．

它们是判断一个角是否为弦切角的标准,三者缺一不可,比如下图中均不是弦切角．

（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例,即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此,弦切角具有与圆周角类似的性质．

弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

切割线定理公式是什么？

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理的证明

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB。

证明：连接AT， BT。

∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)；

∴ △PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)；

∴PB：PT=PT：AP；

即：PT²=PB·PA。

说明

平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。

判定定理

一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。

一般可用：

1、作垂直证半径。

2、作半径证垂直。

圆的切割线定理及推导

圆的切割线定理及推导如下：

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。与圆相交的直线是圆的割线。切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系。这是一个重要的定理，在解题中经常用到。切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB，连接AT, BT。∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)，切割线定理的证明，∠APT=∠TPA(公共角)，∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)，则PB：PT=PT：AP，即：PT²=PB·PA（即切割线定理）。

切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。