“不可能性定理”的概念是什么？
在《社会选择与个人价值》一书中，阿罗提出了“不可能性定理”。他用数学推理得出这样的论断：如果有两个以上偏好不同的人来进行选择，而被选择的政策也是超过两个，那么就不可能做出大多数人都感到满意的决定。因此，在每个社会成员对一切可能的社会经济结构各有其特定的偏好“序列”的情况下，要找出一个在逻辑上不与个人偏好序列相矛盾的全社会的偏好序列是不可能的。他提出的“不可能性定理”是对新福利经济学的革新，是新福利经济学的一个重要组成部分。
关于量子力学不确定性原理，光子的能量-时间与动量-空间不确定性
不确定性是根据矩阵而来
a*b不等于b*a
这说明
总之最后就是说
我们永远也不可能同时准确的测量一个粒子的动量与位置
，因为我们
我们进行测量的本身
就影响了另一个量。
比如我们测量粒子的位置
，因为无法看见
用一个光子去测一下
因为光子
要对粒子产生影响
所以动量就不准了
就算是将来有了高科技也不行
因为不确定原理就是我们世界的基本定理
精确测量就是从理论讲不可能的
赋范空间
赋范线性空间，就是在线性空间（对加法和数乘运算封闭）中引入范数结构。
（拓扑结构，就是在空间中定义了距离结构，有了距离我们就可以引出“接近”、极限、开集等概念）
定义1 ： 是数域 上的线性空间， 函数（映射） 满足：
4. （三角不等式），
则称 是 上的一个 范数 。
定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为（ ）。
注：范数是一个函数（映射），是一种运算。表示了向量的“模”或长度，即点到原点之间的距离。
注1 ：把 称为由范数诱导的距离空间。赋范空间诱导的距离就是两元素做差后的范数，可见赋范空间一定是距离空间。
定义3 ：完备的赋范空间称为 空间。
当点列 收敛到 ， 时，有 ，说明范数是连续的。
即，函数（运算）可以和极限交换位置：
由于范数可以诱导距离，从而赋范空间也是距离空间。但是距离空间必须要满足某些条件才能由范数诱导。
任何不完备的赋范空间都可以完备化。
所表示的集合是 上全体 次幂可积的函数，可积就是积分小于无穷。
结论： 是 在 范数下的完备空间。
定义： 设 是可测集， 是 上可测函数。如果存在 的可测子集 ，且 在 上有界。则称 为 本性有界。
表示可测集 上全体本性有界的可测函数，其上定义：
：表示对一个集合取上确界，就是找该集合里最大的那个元素。 ：取下确界，找集合里最小的那个元素。
注： 是 上的范数。
定理： 是不可分的 空间。
首先回顾 空间中的凸集：
集合 ，如果对于任意的 ，其连线也在 中，则称集合 是凸的。（凸集的概念是在线性空间中提出的）
一些性质（性质就是一些基本的定理）：
定理6 ： 是赋范空间， 是子空间，则
Riesz引理：（重要的几何特征） 设 是赋范空间， 是 真的闭子空间 ，则对于 ，存在 ，使得 ，且对于 ，
如同在一个空间上可以定义不同的距离一样。我们也可以在同一线性空间上（同一集合上）定义不同的范数，从而产生不同的赋范空间。
实际上，要根据所研究的具体问题，选择一个合理、简单、易于解决问题的范数。
我们在这一空间中可定义不同的范数。
对于任意的 ，定义范数：
它诱导的距离：
在这一范数意义下， 是 完备的，可分的。
中可定义范数 ：
是一赋范空间。
定义范数 ：
是一赋范空间。
然而，不同的范数之间可能具有等价关系，即 这样的空间中的收敛性一样， 即按坐标收敛。
下面我们给出两个范数等价的定义：
定义 ：设 和 是线性空间 上的两个范数，如果存在 ，使得
则称 和 是等价的。
注1 ： 在两个等价范数产生的赋范空间中，同一元素的范数可能不同，但是空间中点列的收敛性一样，闭集开集一样。
注2 ：Cauchy列一样。
注3 ：完备性一样。
定理6： 任意实的 维赋范空间必与 代数同构，拓扑同胚。
注1 ：对于复的有限维空间可以证明有类似的结果。事实上，一个复数其实就是由 （平面）进行表示。
注2 ：有限维的赋范空间都是 空间。
有限维空间中的有界集是列紧集。
定理7： 赋范空间是有限维的当且仅当 中的任何有界集是列紧的。
特别地，赋范空间是有限维的当且仅当单位球（或者单位球面）是列紧的。
推论 ：设 是一个无穷维的赋范空间，那么单位球 和单位球面 都不是列紧的（由Riesz引理可证）。 这是有限维空间和无穷维空间的最本质区别 。
在赋范空间 中定义无穷级数
若级数的前 项和序列 收敛，即存在 ，使得
则称 是级数的和 ，记为 。
注：这里的 都是向量（点）。
定理： 若级数 ，可以推出原级数 收敛。
定义2： 设 是 的 线性子空间 （满足加法数乘封闭）， ，如果 ，则称 和 关于 等价，记为 。
注：等价需满足三条性质：1、自反性；2、对称性；3、传递性。
定义4 ：商空间： （关于 的商空间）
设 是 的子空间， ，称 和 关于 等价。对于 ，我们把与 等价的全体元素记为 （实质上 是一个 集合 ）（即以 为代表元的等价类），则
在 中定义
这样的定义不依赖于代表元的选取，则 是一个线性空间。特别地， 称为是 关于 的商空间，记为 。
定义5： 设 是赋范空间， 是 的闭子空间，在商空间 中可以 定义范数 （其实就是 到 的距离, 为零元素）
称之为 赋范空间关于闭子空间 的赋范商空间。
定理8： 设 是 空间， 是 的闭子空间，则赋范空间 关于 的商空间 是 空间。
点列收敛，则该点列有界。
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