用向量证明三角形的垂心定理
1、同理 OA丄BC，OB丄AC，所以 O 是三角形垂心 。三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。证明：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。只要证明AD⊥BC即可。
2、垂心的向量结论是：三角形ABC内一点O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。三角形的三条高线所在直线的交点叫作三角形的垂心。
3、三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D，现在我们只要证明AD⊥BC即可。
4、所以向量OB×向量CA=0即向量OB⊥向量CA，同理向量OC⊥向量BA，向量OA⊥向量BC，所以O点事三角形ABC的垂心。内心证明：定理：角平分线的一个性质：角平分线分对边与该角的两边成比例。
5、= OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2 -2OC*OB = -2OA*OC OC*OB=OA*OC OC*OB=OC*OA OC*OB - OC*OA=0 OC*(OB-OA)=0 OC*AB=0 OC丄AB，同理 OA丄BC，OB丄AC，所以 O 是三角形垂心 。
证明重心,垂心用向量表示
三角形四心的向量表示公式：PA+PB+PC=0。三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
F，三条中线对应的向量分别为d、e、f，则三角形重心的向量表示为：G = (d + e + f) / 3 垂心：三角形垂心是三角形三边所在直线的垂线的交点。
三角形重心外心垂心的向量关系表达式如下：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍，该点叫做三角形的重心。
三角形垂心的向量性质及证明分别是?
1、同理 OA丄BC，OB丄AC，所以 O 是三角形垂心 。三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。证明：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。只要证明AD⊥BC即可。
2、证明1：垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量。我们取三角形ABC的三边上的中点分别为D、E、F，即AD是边BC的中点，BE是边AC的中点，CF是边AB的中点。
3、垂心的向量结论是：三角形ABC内一点O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。三角形的三条高线所在直线的交点叫作三角形的垂心。
4、三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D，现在我们只要证明AD⊥BC即可。
5、三角形的重心是中线的交点，垂心是高的交点，外心是外接圆的中心，内心是内切圆的中心，这些应该是公理没有证明的。
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