一个很简单的收敛数列有界性的证明问题
证明收敛数列的有界性，只需要证明该数列的任何一项都落在一个固定的范围。数列X1，X2，X3一直到Xn都落在一个固定的范围。
问题描述：RT，谢了 最好详细点，好的有赏分 解析：因为数列收敛，设，由定义，对于，存在正整数，nN时，都有 (nN)，从而有 。取，则对一切的n，都有，所以数列有界。
目的是证明收敛数列的有界性。 数列{Xn}收敛到a（不是n=a，），根据极限定义对于任意E＞0， 存在正整数N，当n＞N，不等式/Xn-a/＜E都成立，此处E可以选为1。
a-eana+e，是有界的 对于n=N时，那N个数（有限多个），必然有一个最大的ai，和一个最小aj的 取M=max{a+e，ai} m=min{a-e，aj} 那么M，m分别是an的上界和下界 所以an有界。这就说明了收敛数列必有界。
都有，所以数列有界。根据定理2，如果数列无界，则数列一定是发散的。但必须注意：有界数列不一定收敛。例如，数列是有界的。因为，但它却是发散的(见例4)。
数列收敛和有界性
1、数列收敛与存在极限的关系：数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；数列收敛与有界性的关系：数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。
2、数列收敛与存在极限的关系：数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；数列收敛与有界性的关系：数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！例如：Xn=1，-1，1，-1，...|Xn|=1，是有界的，但是Xn不收敛。
3、数列收敛与存在极限的关系：数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的。数列收敛与有界性的关系：数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。
4、数列收敛一定是有界。书上应该有证明，很简单的，由定义知对于任意的E0，存在N0，使得对于nN，|An-C|E，由E的任意性取E=1，这有|An|C+1，这就知道数列是有界的。而有界不一定收敛，反例很多的。
5、就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。
6、收敛表示数列元素的和有界，当趋于无穷大时数列元素值趋于零。有界表示数列每个值都在某一范围内。
为什么收敛数列一定有界
收敛数列一定有界。本质就是收敛数列一定有界，（反证，假设无界，肯定不收敛）有界数列不一定收敛，（反例，数列｛（-1)^n}是有界的，但它却是发散的。
因为数列xn收敛，设xn收敛于a，根据数列极限的定义，对于ε=1，e正整数n，当nn，不等式/xn-a/1都成立。
因为数列收敛，设，由定义，对于，存在正整数，nN时，都有 (nN)，从而有 。取，则对一切的n，都有，所以数列有界。根据定理2，如果数列无界，则数列一定是发散的。但必须注意：有界数列不一定收敛。
如何理解数列有界性?
数列收敛与有界性的关系：数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
函数和数列均有：有界性。有界的意思是上下界都有，不是只要存在上界。有界数列，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。
数列有界是数列收敛的条件是必要而不充分条件。无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件，但是有界数列不一定收敛。显然是有界的，但也是发散的。所以有界不是收敛的充分条件。
有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列的有界性与函数的有界性，一个是非局部的，一个是局部的。主要原因是数列的数是有限的，可以完全列举出来，即数列收敛，即为有界。
数列的极限的有界性不一定是上下界都有。数列有界，就是指的有上界、有下界。如果数列既有上界、又有下界的，才叫有界数列。数学：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
数列有界是数列收敛的什么条件?
1、必要而不充分条件。无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件；但是有界数列不一定收敛。
2、数列有界是数列收敛的条件是必要而不充分条件。无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件，但是有界数列不一定收敛。显然是有界的，但也是发散的。所以有界不是收敛的充分条件。
3、必要而不充分条件。无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件；但是有界数列不一定收敛。例如数列｛(-1)^n}，显然是有界的，但也是发散的。所以有界不是收敛的充分条件。
4、数列收敛是数列有界的必要而不充分条件，没有界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件，但是有界数列不一定收敛，有界数列是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。
5、数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
6、数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
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